Darío compró puercos, gallinas y ovejas. En total compró 100 animales y gasto $600. Darío pagó $21 por cada puerco, $8 por cada gallina y $3 por cada oveja. Había un número par de puercos. ¿Cuántos animales de cada clase compró Darío?
¿De qué se trata el problema?
Éste es otro ejemplo de un problema que puede resolverse de varias maneras. Es posible mediante ensayo - error. Una tabla también será útil.
Una solución usando álgebra da más idea sobre lo que ocurre. Es fácil establecer las ecuaciones algebraicas, pero resulta que no hay suficientes ecuaciones para poder resolver todas las variables. La clave está en usar el hecho de que la solución son números enteros.
Este problema tiene que ver con en ecuaciones Diofanticas. Éstas son ecuaciones cuyas soluciones se buscan únicamente en los números enteros. Un problema Diofantico importante que fue resuelto en 1995 (y estuvo sin resolver durante más de 300 años), es el denominado Último Teorema de Fermat. Este problema pregunta si para todo numero natural n>2 es posible resolver la ecuación Diofantica xn + yn = zn con x, y, z enteros mayores que 2. El problema fue planteado originalmente por Pierre de Fermat en 1646. Su solución requirió del esfuerzo de muchos matemáticos, hasta que el matemático ingles Andrew Wiles lo resolvió.
Logros
· Forma y resuelve ecuaciones lineales, ecuaciones simultáneas y ecuaciones cuadráticas simples.
· Sustituye valores en una fórmula
· Utiliza las habilidades algebraicas para solucionar un problema que implique tres variables.
Sugerencias para la enseñanza
1. Plantee el problema a la clase.
¿Qué estrategia podemos utilizar para empezar este problema?
¿Si usamos una suposición y la comprobamos, como se sabrá si tenemos todas las posibles respuestas?
2. Los estudiantes pueden probar en una lista pero hay muchas combinaciones debido a las tres variables. Aquí se necesitará animar a los estudiantes a que piensen en aplicar álgebra al problema.
3. Se debe aplicar un método de eliminación en el problema.
4. Puede usarse una lista una vez que se haya eliminado s.
5. Las preguntas que se enfocan en las variables pueden ayudar a los estudiantes a que usen estrategias en lugar de la lista.
¿Qué sabes sobre los 18 p (puercos)?¿Cuál es el rango para las posibles respuestas para los p (puercos)?
¿Qué sobre las g (gallinas)?
Primero redacte de nuevo este problema para ponerlo en otra escena. Produzca su propio problema. Intercambie su problema con alguien más de su clase.
Solución
De la información que nos da la pregunta podemos construir dos ecuaciones. Tome p, g, y s como los números de cerdos, cabras, y ovejas, respectivamente. Entonces:
p + g + s = 100
21p + 8g + 3s = 600.
La dificultad con que nos enfrentamos es que tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas. No hay solución única en tales situaciones. Sin embargo, aquí tenemos el hecho de que las soluciones son números enteros, no podemos tener una fracción de un animal. Ahora se transforman las ecuaciones en una forma que nos permitirá resolverlas.
3p + 3g + 3s = 300
21p + 8g + 3s = 600
Si eliminamos s de estas dos ecuaciones obtenemos
18p + 5g = 300.
¿Se puede resolver esto de alguna manera? Aquí podemos continuar con una lista usando suposición y comprobación.
Otro acercamiento, que probablemente será demasiado complejo para la mayoría de estudiantes involucra reestructurar la ecuación para obtener:
18p = 300 - 5g. Es interesante (y crucial) observar que 5 es un factor del lado derecho de esta última ecuación. Así que 5 debe ser un factor de 18p. Dado que 18 y 5 no tienen ningún factor en común (ellos son primos relativos). Ponemos p = 5k. Por otro lado, sabemos de la pregunta que p tiene que ser par. Esto significa que p es múltiplo de 10. Así que tenemos que p = 10m.
18(10m)=300-5g
180m = 300 - 5g
36m = 60 - g.
¡Por ahora esto no parece ser mejor que la ecuación 18p = 300 - 5g, después de todo, todavía tiene dos incógnitas, m y g. Pero ahora piense! ¿Qué valores puede tomar m realmente? Puesto que 36m es positivo (la pregunta original implica que hay por lo menos uno de cada animal), 60 - g tiene que ser estrictamente positivo.
Así 60 - g está entre 1 y 60. Y como la pregunta original implica que hay por lo menos uno de cada animal, g debe ser por lo menos 1 luego 60 - g no puede ser igual a 60.
Así sí m = 1, entonces p = 10m = 10. Y ahora:
36 = 60 - g. Entonces g = 24.
Regresando a la primera ecuación tenemos s = 66. Entonces el señor Darío compró 10 puercos, 24 gallinas y 66 ovejas.
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