Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo.Benjamin Franklin (1706-1790)

NUMEROS TRIANGULARES Y CUADRADOS

Juana empezó a sumar números impares.  Se sorprendió cundo noto que se formaba un modelo
¿Cuál fue el modelo?  
¿Puedes mostrar cómo funciona el modelo de Juana? 

¿De que se trata el problema?
En estos problemas desarrollamos la idea de los números triangulares que llevan a una fórmula algebraica para el número triangular enésimo.  

Nos preocuparemos aquí por los modelos, cómo continuarlos y cómo encontrar el término general de un modelo.  Aquí podremos conseguir el término enésimo (el término general) de los modelos como una expresión de n.  Muchas de las ideas que se usan en este problema se pueden usar con otros modelos.  Se podrá encontrar el próximo término (mirando la regla de la repetición), usando una tabla, e incorporando las propiedades del número, son todas valiosas habilidades que se pueden usar en muchas situaciones.   

Logros
·        Utiliza ecuaciones para representar situaciones prácticas.
·        Forma y soluciona ecuaciones lineales, ecuaciones simultáneas y  ecuaciones cuadráticas simples.
·        Da una expresión general para él término enésimo de un modelo. 
·        Describe los vínculos entre diversos modelos.

Sugerencias para la enseñanza
1.    Presente el problema a la clase.  Realice una lluvia de ideas para acercarse al problema.  
2.    Mientras los niños trabajan en el problema en parejas realice las siguientes preguntas para ampliar su pensamiento:
¿Qué estrategias pudieron ayudarle a encontrar su respuesta?
¿Cómo pueden utilizar el conocimiento sobre números aquí?
¿Pueden ver modelos que pudieran ayudar?
¿Cómo puede encontrar un modelo general de la expresión? ¿Usando las palabras? ¿Usando el álgebra?  
3.    Comparta las respuestas de los estudiantes. Pídales que expliquen su razonamiento.  Hable sobre lo que se necesita  para una solución completa al problema. 
4.    Pida a los estudiantes que escriban su método de solución.  Compruebe que hayan utilizado correctamente las principales ideas de la discusión.  
5.    Consiga que los estudiantes trabajen en la extensión del problema tanto como sea posible. 
6.    Discuta el problema de la extensión con la clase entera.

Extensión
Los números triangulares están hechos formando  modelos triangulares con  contadores.  El 4° número triangular es 10 porque necesita  10 contadores



Un amigo de Juana dice que si se dobla un número triangular la respuesta siempre será un número cuadrado.  Otro amigo de Juana dice que no es correcto, pero ella dice que es casi correcto.  
¿Cómo los números triangulares pueden combinarse para hacer los números cuadrados? 
¿Cómo puede un número cuadrado dividirse para dar una fórmula para un número triangular?

Solución
En esta solución nosotros sugerimos pensar en algún andamiaje que podría ayudar con su clase. 
Elabore una tabla (Las tablas siempre son buena estrategia para los modelos.) 
Término
Número impar
Suma hasta ahora
1
1
1
2
3
4
3
5
9
4
7
16
5
9
25
6
11
36

La adición de números impares parece llevar a ajustar los números.  Si  pusiéramos n en la primera columna la suma sería n2. (Usted también puede ver que el número n-esimo impar es 2n - 1.) 
Término
Número impar
Suma hasta ahora
1
1
1
2
3
4
3
5
9
4
7
16
5
9
25
6
11
36
...
...
...
...
...
...
n
2n-1
n 2

Así que de la tabla que podemos ver que 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2.  
¿Cómo podemos mostrar esto geométricamente? Demos una mirada a un ejemplo para ver si podemos hacer el ejercicio.  Es mejor empezar por números pequeños. Así que mire 1 + 3, es de mucha ayuda ver cómo las cosas trabajan si usamos contadores coloreados para los diferentes números impares. De algún modo tenemos que conseguir que los contadores formen un cuadrado. Hay sólo una manera



Ahora mire 1 + 3 + 5. Sabemos que tenemos que hacer un cuadrado. ¿En dónde podemos poner  los 5 contadores azules para hacer un cuadrado?


Ahora usted puede ver que 1 + 3 + 5 + 7 = 16 y 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. ¿Usted puede ver que siempre es posible agregar el próximo número impar al lado? Empareje 5 contadores verdes con los contadores azules en el último diagrama y hay entonces dos espacios para poner  los 2 últimos contadores verdes.  

Otra manera de resolver este problema es algebraicamente.  Sabemos que tenemos que sumar los números 1, 3, 5,…, 2n - 1.  Supongamos que la suma es S. Escribiremos a S así:  
S =     1      +     3      +      5     +… + (2n - 5) + (2n - 3) + (2n - 1).  
S = (2n - 1) + (2n - 3) + (2n - 5) +… +      5     +     3     +     1.  
Ahora agregue los números como si estuvieran en columnas.  
2S = [1 + (2n - 1)] + [3 + (2n - 3)] + [5 + (2n - 5)] +… + [(2n - 5) + 5] + [(2n - 3) + 3] + [(2n - 1) + 1] = [2n] + [2n] + [2n] +… + [2n] + [2n] + [2n].   

Sorprende que todos los términos suman  2n. ¿Pero cuántos 2n están allí? Había una condición de n en S (estábamos sumando los primeros n números impares).  Así 2S = 2n x n = 2n2.

Esto significa que S = n2 que es lo que estábamos esperando.  
Este truco de agregar cosas después de escribirlas hacia delante y hacia atrás se puede usar en otras situaciones dónde la diferencia entre las condiciones es una constante.  

Extensión
Este problema se puede aproximar sucesivamente usando el ensayo y error con números triangulares.  No toma demasiado notar que cuando se agregan dos números triangulares consecutivos la respuesta es un número cuadrado.  
Esto puede verse en el diagrama de abajo.


Si sumamos el enésimo número triangular y el número triangular (n + 1) - esimo obtenemos ( n + 1 )2.  Los números cuadrados se pueden dividir en 2 números triangulares consecutivos. ¿Pero como conseguimos la fórmula para un número triangular cuadrado?. Lo primero que se hace para un caso especial, tome el cuarto y quinto número triangular (véase abajo)

Ahora reubiquemos los contadores de modo que acentuemos el cuarto número triangular (véase abajo)


Así ahora dos veces el 4° número triangular más 5 es  25. Reestructurando da el 4° número triangular = (25 - 5)/2.  

Usando este mismo argumento en el n-esimo número triangular da el n-esimo número triangular = [(n + 1)2 - (n + 1)] /2.  

Vemos cómo esto trabaja para los ejemplos específicos (n = 5, 6, 7). Sería útil intentar trabajar a través del caso general.  Se necesitaría hacer algo así.  
Dos veces el n-esimo número triangular más (n + 1) es (n + 1)2, por la geometría de la situación sería dos veces el n-esimo número triangular = (n + 1)2 - (n + 1).   
Esto da el n-esimo numero triangular = [(n+1)2 – (n+1)]/2.