Ricardito, Sara y Bruno son hermanos. Ricardito, puede pintar la sala de televisión en 3 horas. Su hermana, Sara puede hacerlo en 4 horas. A su hermano Bruno le tomará 6 horas. ¿Si trabajan todos juntos, cuánto tiempo les tomará pintar la sala?
¿De que se trata el problema?
Aquí tenemos un problema que utiliza álgebra. La dificultad está en formar las ecuaciones. Es cuestión de tener un pensamiento claro para decidir qué variables se necesitan y cómo usarlas. Ésta es la clave de este problema. ¡Piense antes de utilizar el álgebra!
Al comienzo hay que encontrar relaciones entre las variables. Por lo tanto este problema es de un tipo diferente a las ecuaciones de Diofanto que nosotros hemos encontrado en otra parte. Aquí no se puede utilizar el hecho de que las variables son números enteros.
Observe que hemos usado variables para este problema y hacemos que r sea lo que Ricardito pinta, s lo que Sara pinta y b lo que pinta Bruno.
Logros
· Soluciona ecuaciones lineales.
· Utiliza ecuaciones para representar una situación práctica.
· Genera los patrones de una situación estructurada.
· Encuentra una regla para un término general.
Sugerencias para la enseñanza
1. Usted puede introducir la clase preguntándoles. ¿Si toma a tres estudiantes 5 horas para excavar un agujero, cuánto tiempo le toma a 4 estudiantes para vaciarlo?
2. Plantee el problema a la clase.
3. Mientras los estudiantes trabajan (en parejas o grupos pequeños) observe que estén expresando las afirmaciones algebraicamente.
¿Qué variables están en este problema?
¿Cómo podrías expresar esto?
4. Si algunos de los estudiantes tienen dificultad haga que otros compartan la manera de como comenzaron el problema.
5. Comparta las soluciones que necesiten los estudiantes para explicar su razonamiento a los otros.
Extensión
Suponga que Ricardito puede hacer otro trabajo en 3 horas y Sara puede hacer el mismo trabajo en 4 horas. Trabajando juntos, pueden hacer toda la tarea sobre una hora porque Bruno ha tenido cierta ayuda en su técnica. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Bruno hacer su propio trabajo?
Solución
Suponga que Ricardito pinta una fracción r, Sara pinta una fracción s y Bruno pinta una fracción b de la sala de Televisión. Entonces
r + s + b = 1.
Pero ésta es una ecuación con tres incógnitas. ¿Qué mas sabemos para reducir el número de variables? Bien sabemos las velocidades relativas a que trabajan. Así quizá podemos encontrar una relación entre r y s.
Miremos a Ricardito y Bruno primero porque los números ahí están más simples. Cada 3 horas que Ricardito pinta, Bruno pinta 6 horas. Así mientras Ricardito pinta todo la sala de televisión, Bruno pinta sólo la mitad. Sí Ricardito pinta un cuarto de la sala Bruno pinta un medio de un cuarto. Así que la fracción de Bruno es siempre un medio de la de Ricardito.
Esto significa que r/2=b
Si comparamos a Ricardito y Sara podemos ver que, no importa el trabajo que ellos hagan, si Ricardito pinta toda la sala, Sara pintará 3/4 de la sala. (Esto es porque en 3 horas, Ricardito pintará la sala entera). Si Ricardito pinta toda la sala es decir r, entonces Sara pinta 3/4r de la sala.
Así r+3/4r+r/2=1
9/4r=1
r=4/9
¿Pero cómo ayuda esto? Bien, a Ricardito le toma 3 horas pintar el cuarto solo. Esto significa que él toma 4/9 de 3 horas cuando él trabaja con sus hermanos. Así que todos juntos trabajan 4/3 de una hora es decir 1 hora y 20 minutos.
Extensión
En 1 hora Ricardito hace 1/3 del trabajo y Sara hace 1/4 del trabajo. Así que Bruno hace el resto. Su fracción es por consiguiente 1 - 1/3 - 1/4 = 5/12 del trabajo. Así si Bruno hace 5/12 del trabajo en una hora puede hacer el trabajo entero en 12/5 horas. Es decir, él puede hacerlo en 2 horas y 24 minutos.
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