Esta serie de números se construye usando el siguiente modelo.
1 | ||||||
2 | 3 | |||||
4 | 5 | 6 | ||||
7 | 8 | 9 | 10 | |||
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||
16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | |
22 | ... |
1. ¿Encuentra los siguientes números? ¿Es decir, en qué fila, y en que columna?
a. 37 b. 61 c. 86.
2. Use un método para localizar el número 1,387.
¿De que se trata el problema?
Este problema tiene varias maneras de abordarlo y cada uno con un grado de dificultad diferente. Éstos van desde escribir todos los números hasta conseguir el número que se busca, a través del uso de los números triangulares.
Trabajando en este problema es posible encontrar varios modelos diferentes. Es útil aprovechar cualquier oportunidad que se presente para expresar estos modelos algebraicamente. Los modelos algebraicos se presentaran frecuentemente en los niveles de aquí en adelante. Por lo tanto este problema proporciona una buena práctica.
Logros
· Genera modelos en una solución estructurada.
· Encuentra una regla para él termino general y la expresa en palabras y números.
· Genera modelos en una situación estructurada.
· Encuentra una regla para un término general.
Sugerencias para la enseñanza
1. Empiece escribiendo los tres primeros términos del modelo en el tablero. ¿Cuál es el próximo término en este modelo? ¿Y el próximo? ¿Qué método puedes utilizar para encontrar 61?
2. Plantee el problema para que los estudiantes trabajen en él.
3. Enfoque las preguntas que pueden ayudar a los estudiantes a conseguir resultados
¿Cómo puedes empezar?
¿Qué información tienes?
¿Qué conocimiento matemático podrías aplicar a este problema?
4. Cuando los estudiantes trabajen, hágales preguntas que se enfoquen en el método que ellos están usando en el problema.
¿Qué método estas utilizando?
¿Por qué escogiste este método?
¿Es eficaz?
¿Has visto antes un modelo de números como este?
5. Pida a los estudiantes que justifiquen su razonamiento escribiendo una conclusión para explicar su respuesta.
6. Comparta y discuta las respuestas.
Extensión
a. Escriba un método o regla para encontrar la localización de cualquier número dado. b. Invente sus propios números y encuentre modelos generales.
Solución
Hay varias maneras de resolver este problema
Método 1: Construya una tabla al número requerido.
Se hacen todas las posibles combinaciones que generarán respuestas 37, 61 y 86 pero claramente sería sumamente tedioso para un número como 1,387. Claro, será imposible encontrar una regla general para localizar cualquier número usando este método.
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2 | 3 | ||||||||||
4 | 5 | 6 | |||||||||
7 | 8 | 9 | 10 | ||||||||
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |||||||
16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ||||||
22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | |||||
29 | 30 | 31 | 12 | 33 | 34 | 35 | 36 | ||||
37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | |||
46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | ||
56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | |
67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 |
79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | … |
De este método, las soluciones son
37: fila 9, columna 1 (9, 1)
61: (11, 6)
86: (13, 8)
Método 2: Busque un patrón.
El primer número de cada fila aumenta constantemente.
Número de la fila | Primer número en la fila | Aumento de la fila anterior |
1 | 1 | 0 |
2 | 2 | 1 |
3 | 4 | 2 |
4 | 7 | 3 |
5 | 11 | 4 |
6 | 16 | 5 |
7 | 22 | 6 |
Este modelo indicará la fila para cualquier número dado. Pero esto sigue siendo tedioso para encontrar 1,387. Y todavía no le dirá donde esta cualquier número dado.
Método 3: Adopte la estrategia, ¿ha visto un problema similar así antes?. Note que en el final de cada fila los números son 1, 3, 6, 10, 15, 21. Éstos son los Números Triangulares.
La fórmula para el n-esimo término es n(n+1)/2
Así para localizar 91, por ejemplo:
n = 10, | 10(10+1)/2=55 | Demasiado pequeño |
n = 11, | 11(11+1)/2=66 | Demasiado pequeño |
n = 12, | 12(12+1)/2=78 | Demasiado pequeño, pero se consigue acercarse. |
n = 13, | 13(13+1)=91 |
Así que 91 se localiza en la fila 13. La fila 13 tiene 13 números por tanto 13 columnas
Col 1 | Col 2 | Col 3 | Col 4 | Col 5 | Col 6 | Col 7 | Col 8 | Col 9 | Col 10 | Col 11 | Col 12 | Col 13 | |
79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 |
y 86 se localizará en esa fila, entonces 86 se localiza en (13, 8).
Localizar 1387, intente:
n = 20 | 20(20+1)/2=210 | Demasiado pequeño |
n = 40 | 40(40+1)/2=820 | Demasiado pequeño |
n = 70 | 70(70+1)/2=2485 | Demasiado grande |
n = 60 | 60(60+1)/2=1830 | Demasiado grande |
n = 58 | 58(58+1)/2=1711 | Demasiado grande |
n = 53 | 53(53+1)/2=1431 | Demasiado grande |
n = 52 | 52(52+1)/2=1378 |
así que, 1387 están en la fila 53 en (53, 9). Método 4: Resolviendo una ecuación.
n(n+1)/2=1387
n 2+n-2774=0
n=(-1+sqrt(11097))/2
n=52.97
Extensión
a. El método 3 da un acercamiento general que usa los números triangulares. ¿Es posible encontrar una fórmula que dará la posición del número n? Permítanos saber si usted o uno de sus estudiantes encuentra tal regla.
b. Cuéntenos si usted encuentra algo interesante.
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