Un supermercado tiene una exhibición de latas en forma de triángulo. Las cuatro
b. ¿Si la exhibición era de 21 filas cuantas latas habrá?
c. Encuentre una regla para encontrar el número de latas para cualquier número de filas.
¿De que se trata el problema?
Éste es un ejemplo de un problema que tiene muchos métodos de solución. Las dos primeras partes se pueden resolver con un método relativamente ingenuo. Esto significa que un rango de estudiantes puede encontrar la solución por lo menos para las dos primeras partes del problema.
Este problema es una manera excelente de introducir o reforzar las ecuaciones cuadráticas. Al mismo tiempo da la oportunidad de relacionar un problema de palabras y los números triangulares. Se puede ver que los números triangulares aparecen en gran cantidad de contextos. Por ejemplo, los números triangulares cuentan el número de apretones de manos que tiene lugar entre un número de personas y también cuentan el número de maneras de escoger a dos personas de una muchedumbre en un concierto.
Varios problemas de este tipo consiguen que los estudiantes produzcan un modelo general en forma algebraica de una situación real. Ésta es una habilidad que se necesita en una amplia gama de aplicaciones dentro y fuera de la matemática. Se convierte en un modelo bastante complicado que, en la escuela, en la universidad, puede implicar derivadas.
Hay varias condiciones aquí (número de latas en una pila de n filas), es probable que los estudiantes encuentren la suma en una progresión aritmética. Esta suma es una progresión aritmética con razón 1.
Logros
· Genera modelos de una situación estructurada.
· Encuentra una regla para el término general, y lo expresa en palabras y símbolos.
· Encuentra una regla para sumar números consecutivos.
· Identifica un modelo de números triangulares.
Sugerencias para la enseñanza
1. Dibuje la pila de latas en el tablero. ¿Cuántas latas se han utilizado? ¿Cuántas latas estarán en la próxima fila?
2. Plantee el problema a la clase. ¿Qué estrategia podríamos utilizar para resolver este problema? ¿Recuerda algún problema como este?
3. Cuando los estudiantes trabajen en el problema hágales preguntas que se centren en los métodos utilizados para sumar números consecutivos.
¿Cómo estas agregando números?
¿Piensas que existe otra manera más rápida en que pudieras agregarlos?
4. Consiga que algunos estudiantes justifiquen su razonamiento donde expliquen su respuesta.
5. Comparta y discuta las respuestas.
a. ¿Cuántas filas tiene una pila de 136 latas?
b. ¿Cuántas filas tiene una pila de 432 latas?
Solución
Hay varias maneras de resolver las dos primeras partes de este problema. Se han dado dos aquí.
Método 1: Viendo un Modelo
a. El modelo es 1 + 2 + 3 + 4 +... Cada fila nueva tiene una lata más. Así pues en un apilado de 10 filas, habrá C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 latas. Es fácil de sumarlos para un total de 55.
Sin embargo, es útil intentar encontrar una manera rápida de agregar los números en una lista así. Esto puede hacerse con ciertas parejas de números donde su suma es 11.
1 + 10 = 11
2 + 9 = 11
3 + 8 = 11
4 + 7 = 11
5 + 6 = 11
Ahora cinco veces 11 es igual a 55, así que se consigue la respuesta que se consiguió por la suma directa.
b. Si la exhibición es de 20 filas, necesitamos encontrar C = 1 + 2 + 3 + 4 +... + 18 + 19 + 20. De nuevo esto puede encontrarse de dos maneras: por la suma directa o por un método de apareamiento. El problema con el apareamiento es que este tiene un número impar de términos. Así que conseguimos
1 + 21 = 22 6 + 16 = 22
2 + 20 = 22 7 + 15 = 22
3 + 19 = 22 8 + 14 = 22
4 + 18 = 22 9 + 13 = 22
5 + 17 = 22 10 + 12 = 22
¿11?
¿Qué podemos hacer con el 11?. Bien ignórelo por un momento. Hay 10 porciones de 22, y eso da 220. Ahora agregue el 11 para conseguir 231.
c. Generalizando este método a cualquier número de filas conseguimos C = 1 + 2 + 3 + 4 +... +(n -1) + n. Ahora si n es par podemos producir la suma por el apareamiento usual.
1 + n = n + 1
2 + (n - 1) = n + 1
3 + (n – 2) = n + 1
… … …
r + (n – ( r - 1)) = n + 1
… … …
Cada pareja suma n + 1. Hay
¿Pero qué si n es impar? Claro conseguimos la misma forma de la respuesta. C =
Método 2: Un Acercamiento Geométrico
Primero mire que la forma del apilado es un triángulo. Si lo empujamos un poco se vuelve un triángulo rectángulo con el mismo número de latas. Reuniendo dos de éstos, se vuelve un rectángulo. Y el área del rectángulo es más fácil de calcular que el área del triángulo. Empecemos con cuatro filas.
El rectángulo tiene 20 latas pero éste es dos veces las latas del apilado original. Por lo tanto un pilado de cuatro filas tiene 10 latas.
a. Para usar este método en general se necesita saber el número de filas y el número de latas en la fila más grande. Mirando este método para 10 filas sabemos que la fila más grande tiene 10 latas. Usted debe encontrar que el rectángulo correspondiente tiene una base 11 = 10 + 1 y altura 10 (el número de filas). El rectángulo tiene 11 x 10 = 110 latas. El área del triángulo original es la mitad del rectángulo así que es 55 (como lo encontramos en el método 1.)
b. Para 21 filas tenemos un rectángulo de base 22 y altura 21 es decir que tendrá 462 latas. Así que la pila original tiene 231 latas (vea método 1).
c. En general para una pila de n filas. Cuando los dos triángulos se reúnen, la base del rectángulo que se forma es n + 1 y la altura es n. Por lo tanto el área del rectángulo es n(n + 1). Esto da el área del apilado triangular
Extensión
a. Ahora hay que averiguar cuántas filas ocuparían 136 latas, se puede suponer y verificar con la ayuda de una tabla. Para comenzar sabemos que la respuesta está entre 10 y 21. Así que podríamos suponer 15. Si hubiera 15 filas entonces nosotros tendríamos
Así que tenemos que resolver 136 =
b. Usando el método cuadrático para esta parte da n2 + n - 864 = 0. Elegimos este deliberadamente para que el cuadrático no se descomponga en factores. ¿Puede resolverse utilizando la fórmula para n = 28.898 o para n = -29.898?. Bien el apilado más cercano que podríamos tener es un apilado con 29 filas. Sin embargo, no hay el número de latas para semejar tal apilado. Hay unas latas que están en la cima. ¿Cuántas faltan?
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