PILDORAS

Los farmaceutas utilizan a veces una bandeja triangular para contar píldoras rápidamente.  Haga una bandeja de cartulina que se pueda utilizar para contar hasta 15 pelotas de ping – pong.

Imagine la bandeja más grande y las pelotas muy pequeñas.  El 5° número en la cuenta es 15.  El 6° número es 21.  El 7° es 28. ¿Cuál es el 99° número?

¿De que se trata el problema?

Este problema se relaciona con los números triangulares.  Sobre el rango de estos problemas se puede desarrollar la idea de los números triangulares que conducen a una fórmula algebraica para el n-esimo número triangular.

Este problema es acerca de modelos, cómo continuarlos y cómo encontrar el término general.  Muchas ideas que se usan en este problema se pueden utilizar en otros modelos.  Se encuentra un término siguiente, usando una tabla, e incorporando las propiedades características de los números.

Logros

·         Encuentra y justifica una fórmula con palabras que representa una situación práctica dada.

·         Mira más de una regla para un modelo dado.

·         Expresa las reglas en palabras.

Recursos

·         Pelotas de ping – pong

Sugerencias para la enseñanza

1.    Presente el problema a la clase.  Las ideas sirven de inspiración para acercarse al problema y no perder de vista lo que se ha hecho.

2.    Anime a los niños a usar una tabla y que vean cómo las entradas en la tabla están relacionadas para hacer un acercamiento geométrico.

3.    Cuando los niños trabajen en el problema en parejas puede hacer las siguientes preguntas para extender su pensamiento: 

¿Qué estrategias pudieron ayudarte a encontrar la respuesta? 

¿Cómo puedes usar tu conocimiento sobre números aquí? 

¿Puedes ver algún modelo que te podría ayudar? 

¿Puede expresar esos modelos en palabras? 

4.    Comparta las respuestas de los estudiantes. Pídales que expliquen su razonamiento.  Anímelos a que piensen sobre lo que han utilizado.  ¿Qué acercamiento puedes entender mejor?.

5.    Pídale a los estudiantes que escriban una solución.

6.    Inicialmente use el problema de la extensión para los estudiantes más rápidos pero permita a los otros tiempo para trabajar en él. (Puede utilizar números más pequeños con los estudiantes más lentos).  Pruebe 66 para empezar.  Ellos pueden hacerlo probablemente dibujando los números triangulares.  Anímelos, sin embargo, a usar la regla de los números triangulares que han encontrado.)

7.    Discuta esto con la clase.

Extensión

¿Cuántas píldoras hay a lo largo del lado de la pila triangular si hay 6216 píldoras en total?

Solución

Este problema se ha resuelto de una manera simple en los niveles anteriores. 

Desafíe a los estudiantes a completar la tabla.  Ellos tienen qué multiplicar siempre para ir de un término a un número triangular.

(Las entradas en la tercera columna deben ser, en orden, 1, , 2, , 3, , 4,...)

¿Cuál es el modelo para los números en la tercera columna? ¿Cómo se  relacionan con los otros dos?.

¿Cómo pueden conseguir el tercer número triangular? ¿El 10°? ¿Puede dar una regla para los números triangulares para cualquier término dado? (Tome el término y multiplíquelo por la mitad del próximo término.)

Término	Número triangular	¿Término multiplicado por?
1	1
2	3
3	6
4	10
5	15
6	21
7	28
8

Ayúdeles a ver que el número en la tercera columna es el producto del término por la mitad del siguiente término.  El 7° número triangular es 7 x (8/2) = 28.  Si esto se aplica a la 99^a fila de la tabla tendremos que multiplicar 99 por la mitad de 100. Esto lleva a una solución de 99 x 50 = 4950.

Término	Número triangular	¿Término multiplicado por?
1	1
2	3
3	6
4	10
99	99 x (100/2)	100/2
100

Esto es más divertido desde un punto de vista geométrico.  Reúna dos porciones de los 99° números triangulares (2 x 99° número triangular).  Coloree uno rojo y el otro azul (véase abajo).  De los lados del rectángulo se obtiene: (99 por 100).

Para que 2 x (99° número triangular) = 99 x 100; significa que el 99° número triangular = (99 x 100)/2 = 4950.