La mayor Sara, que siempre las organiza, les sugirió que todos deberían poner el mismo número de tarjetas postales en cada página para hacer ver los álbumes más ordenados y así permitir poner más de una tarjeta postal en cada página.
Cada uno de los tres niños puso sus tarjetas postales en un montón en el piso. Sara dijo, "Si yo pongo mis tarjetas postales, cuatro en cada página, tendré un excedente de tres tarjetas." Janeth dijo, "Si yo tuviera justo una tarjeta postal mas podría agrupar cinco en una página." Pablo dijo "yo puedo acomodarlas perfectamente en cada página y supongo que tengo la mayoría, y seré el primero en pegar 100 de todos modos." Ellos decidieron contar sus tarjetas postales y ver quién tenía más. Para desilusión de Pablo descubrieron que todos tenían el mismo número.
¿Cuántas tarjetas postales tienen cada uno de ellos? ¿Y cuántas páginas tienen sus álbumes?
¿De que se trata el problema?
Es importante la interpretación de las palabras en este problema como en muchos problemas de palabras. Hay mucha información que tiene que ser extraída del problema, además de ecuaciones que involucran múltiplos de 4 y 5. Por ejemplo, el hecho que Pablo no pueda tener primero un número de tarjetas es fundamental en la solución.
El modelo en esta pregunta se genera de la regla dada en palabras y los estudiantes no necesitan traducir el problema al álgebra para resolverlo. En la opción 1 de la solución mostramos esto y completamos el problema en gran parte con una tabla.
Si usted toma un acercamiento algebraico puede ser útil usar letras que le ayuden a recordar lo que él representa. Así que sugerimos pensar en s, j, p en lugar de a, b, c, porque s seria Sara, j Janeth y p Pablo. Esto se puede considerar como un problema algebraico.
Si usted va abajo la ruta algebraica puede acelerar las cosas para resolverlo usando una ecuación de Diofanto. Éstas son ecuaciones que sólo tienen soluciones de números enteros. Tales ecuaciones contienen a menudo información adicional que puede utilizar para resolverlas. Por ejemplo, en este problema tenemos 3 ecuaciones y 4 incógnitas. Sin embargo, podemos resolver las ecuaciones porque las soluciones enteras. Una ecuación importante de Diofanto que fue descubierta en 1975 y que estaba sin resolver por más de 300 años, es el tema del último Teorema de Fermat. La pregunta es si es posible resolver xn + yn = zn para los números enteros x, y, z dónde n es un número entero mayor que 2. El problema se propuso originalmente por Fermat. Tomó un mucho tiempo para que el matemático Andrew Wiles solucionara el problema.
· Genera un patrón para una regla.
· Aplica el álgebra para encontrar una solución al problema.
Sugerencias para la enseñanza
1. Interese a los estudiantes en el problema hablándoles sobre modelos como en los múltiplos de 9. Escriba la lista de los múltiplos de 9 (9, 18, 27, 36, 45, 54, 63,...) en el tablero y pregunte:
¿Sabes cuales son estos números?
¿Cuál es el próximo número?
¿Qué modelos puedes ver?
¿Alguien sabe una manera muy fácil de recordar la tabla del 9?
2. Si nadie le sugiere, muestre la técnica siguiente.
Para 6 x 9: Doble hacia abajo el sexto dedo (1 dedo en la mano derecha). Esto divide los dedos en 5 dedos y 4 dedos que son, claro, la respuesta a 6 x 9.
3. Proponga el problema para que los estudiantes trabajen en él.
4. Formule preguntas que ayuden a los estudiantes a conseguir resultados, como:
¿Cómo podemos utilizar esto?
¿Qué información tenemos?
¿Qué conocimiento matemático podríamos aplicar a esta solución?
¿El álgebra nos ayudaría?
¿Cómo comparamos los casos?
5. Anime a que los estudiantes justifiquen su razonamiento claramente escribiendo una conclusión para explicar su respuesta.
6. Plantee sus respuestas.
7. Si los estudiantes no han podido resolver el problema algebraicamente ayúdelos expresando una de las tarjetas postales, por ejemplo, Sara tiene 4s + 3 tarjetas.
Solución
Esto se puede resolver utilizando los múltiplos o utilizando el álgebra y una tabla.
Opción 1: Utilice una tabla.
Sara tiene tres más que un múltiplo de 4; Janeth tiene uno menos que un múltiplo de 5; y Paúl tiene un múltiplo de un número natural. Si escribimos en una tabla podemos comparar los números de tarjetas de Sara y Janeth. Cuando encontremos que dos números son iguales podemos ver si Pablo puede tener esa cantidad. Puesto que Pablo (y por consiguiente todos los demás) tienen menos de 100 tarjetas sólo tenemos que subir hasta 100 en la tabla. (En la tabla M4 son múltiplos de 4 y M5, múltiplos de 5.)
M4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
Sara | 7 | 11 | 15 | 19 | 23 | 27 | 31 | 35 | 39 | 43 | 47 | 51 |
M5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
Janeth | 4 | 9 | 14 | 19 | 24 | 29 | 34 | 39 | 44 | 49 | 54 | 59 |
M4 | 52 | 56 | 60 | 64 | 68 | 72 | 76 | 80 | 84 | 88 | 92 | 96 |
Sara | 55 | 59 | 63 | 67 | 71 | 75 | 79 | 83 | 87 | 91 | 95 | 99 |
M5 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 | 100 | ||||
Janeth | 64 | 69 | 74 | 79 | 84 | 89 | 94 | 99 |
(A propósito, usted podría usar una hoja de cálculo para construir la tabla.)
Se han resaltado los números que podrían representar el número de tarjetas que los niños tienen. Hay cinco posibilidades.
Pero hay una condición que no hemos usado todavía. Pablo tiene un número igual de tarjetas postales en cada página. Ahora asumimos que su libro tiene más de una página. Por lo tanto el número de tarjetas postales debe ser un múltiplo del número de páginas. Puesto que él tiene más de una tarjeta postal en cada página, el número de tarjetas postales que cada uno de ellos tiene no es un número primo. Por lo tanto el no puede tener 19, 59, o 79 tarjetas. Esto deja dos posibilidades 39 y 99.
a. Suponga que cada uno tiene 39 tarjetas. Entonces 39 = 4 x 9 + 3, Sara tiene 9 páginas en su libro. Como 39 = 5 x 8 - 1, entonces Janeth tiene 8 páginas en su libro. Ahora 39 = 3 x 13, así que Pablo tiene 3 páginas con 13 tarjetas en cada página o 13 páginas con 3 tarjetas en cada página. A menos que el libro de Pablo sea bastante grande, es imposible que él tuviera 13 tarjetas en una página. Así que él tiene 13 páginas probablemente en su libro.
b. Suponga que cada uno de ellos tiene 99 tarjetas. Entonces 99 = 4 x 24 + 3, Sara tiene 24 páginas en su libro. Como 99 = 5 x 20 - 1, entonces Janeth tiene 20 páginas en su libro. Ahora 99 = 3 x 33 o 9 x 11, así que Pablo tiene 3 páginas con 33 tarjetas en cada página o 33 páginas con 3 tarjetas en cada página o 9 páginas con 11 tarjetas en cada página o 11 páginas con 9 tarjetas en cada página. A menos que el libro de Pablo sea bastante grande, es imposible que él tuviera 9 tarjetas en una página o 11 tarjetas en cada página o 33 tarjetas en cada página. Así que él tiene 33 páginas probablemente en su libro.
Opción 2: Use el álgebra
Aquí permitimos que s, j y p representen el número de páginas en los libros de Sara, Janeth y Pablo, respectivamente. Sabemos que Sara tiene 4s + 3 tarjetas, Janeth tiene 5j - 1 y Pablo tiene cp dónde c es algún número entero más grande que 1.
Como Sara y Janeth tienen el mismo número de tarjetas, 4s + 3 = 5j - 1.
luego 5j = 4(s + 1), puesto que 4 es factor en el lado derecho de la ecuación debería ser factor en el lado izquierdo. Esto obliga a que j sea un múltiplo de 4. Deje j = 4k, así 5j - 1 = 20k - 1. Como los niños tienen menos de 100 tarjetas, 20k - 1 < 100, luego que k £ 5 qué significa que k = 1, 2, 3, 4 o 5.
Podemos resumir las posibilidades en la tabla de abajo.
k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
j | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
5j - 1 | 19 | 39 | 59 | 79 | 99 |
4s + 3 | 19 | 39 | 59 | 79 | 99 |
s | 4 | 9 | 14 | 19 | 24 |
Como en la opción 1 sabemos que se debe descontar 19, 59, y 79. La respuesta sigue ahora como en la opción 1.
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