Jairo explora las respuestas que se consiguen cuando suma números consecutivos. Los registró sistemáticamente; por ejemplo:
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 4 = 7
4 + 5 = 9 etc.
Les llamó a estas sumas, suma de dos números consecutivos.
a. Usando este método escriba sumas de tres números consecutivos.
b. Decide descubrir si se puede escribir el 36 como la suma de dos, tres, cuatro o cinco números consecutivos. Utilizó la siguiente tabla para registrar su información.
Suma de 2 números consecutivos | Suma de 3 números consecutivos | Suma de 4 números consecutivos | Suma de 5 números consecutivos |
3 | 6 | 10 | 15 |
5 | 9 | 14 | 20 |
7 | 12 | 28 | 25 |
9 | 15 | 32 | 30 |
c. Usando la información de la tabla de Jairo, escriba algunas generalizaciones que él pudo utilizar para hacer una prueba rápida para ver si 36 es la suma de dos, tres, cuatro o cinco números consecutivos.
d. Escoja cualquier número menor que 50. Compruebe que sea la suma de dos, tres, cuatro o cinco números consecutivos.
e. Extienda la tabla de Jairo para incluir sumas de seis y siete números consecutivos.
f. Ahora explore todos los números menores que 50 que no se pueden escribir como la suma de números consecutivos.
¿De qué se trata el problema?
Una de las partes importantes de este problema es ver los modelos. Esto toma dos pasos. El primero es poder describir el modelo en palabras y el segundo es encontrar una expresión algebraica para él.
Pero en matemáticas, ver los modelos es sólo parte del juego. Las matemáticas se diferencian de otras disciplinas en que se tienen que justificar los modelos que se encuentran. Encontrar el modelo en una forma algebraica es útil para la justificación.
Ahora el nivel más bajo de esta justificación está en mostrar que todo los datos encajan en el modelo. Éste es sólo el primer paso. Claramente usted verificará siempre que cada número en su juego satisfaga el modelo. Pero entonces tiene que seguir justificando que cada miembro del juego lo satisface (incluso los que usted no ha enumerado todavía). Esto es más difícil pero es algo que usted debe animar para que sus estudiantes lo intenten, pues es una parte esencial de la matemática.
Los modelos a los que estamos refiriéndonos aquí se llaman conjeturas. A lo qué nosotros llamamos justificación también se le llama prueba.
Logros
· Genera los patrones de una situación estructurada para encontrar una regla general para un término y lo expresa en palabras y símbolos.
· Halla un patrón para una lista organizada.
· Describe una regla para el sistema en general.
Sugerencias para la enseñanza
1. Dígale a los estudiantes que el problema se solucionara por partes.
2. Escriba 1+ 2 = 3 en el tablero, ¿Cual piensas que podría ser el próximo término en el problema?
3. Escriba dos sumas más, de números consecutivos en el tablero. ¿Cómo podríamos describir estas ecuaciones? (las sumas de dos números consecutivos)
¿Quién puede darme una suma de tres números consecutivos?
4. Dé el problema a los estudiantes para que trabajen en parejas.
5. Haga que el trabajo de los estudiantes se centre en preguntas como:
¿Qué puedes decirme sobre los números de la tabla?
¿Puedes ver los modelos?
¿Estos modelos los utilizaran siempre?
¿Piensas en una manera de describir el modelo usando condiciones generales?
6. Soluciones de las partes.
7. ¿Qué puedes decir sobre los números que no son la suma de números consecutivos?
¿Existen números que pueden escribirse como la suma de dos números consecutivos y como la suma de tres números consecutivos?
¿Puedes justificar los modelos que encontraste anteriormente?
a. 2 + 3 + 4 = 9; 3 + 4 + 5 = 12;
b. Algunas sumas de esta tabla pueden ser:
Suma de 2 números consecutivos | Suma de 3 números consecutivos | Suma de 4 números consecutivos | Suma de 5 números consecutivos |
3 | 6 | 10 | 15 |
5 | 9 | 14 | 20 |
7 | 12 | 18 | 25 |
9 | 15 | 22 | 30 |
11 | 18 | 26 | 35 |
13 | 21 | 30 | 40 |
c. Algunas observaciones interesantes son:
· Las sumas de dos números consecutivos son todas impares.
· Las sumas de tres números consecutivos son todas divisibles por 3.
· Las sumas de cuatro números consecutivos comienzan en 10 y aumentan cada vez en 4.
· Las sumas de cinco números consecutivos comienzan en 15 y aumentan en 5 cada vez.
Suponga que la tabla se vuelve a hacer
n | Suma de 2 números consecutivos | Suma de 3 números consecutivos | Suma de 4 números consecutivos | Suma de 5 números consecutivos |
1 | 3 | 6 | 10 | 15 |
2 | 5 | 9 | 14 | 20 |
3 | 7 | 12 | 18 | 25 |
4 | 9 | 15 | 22 | 30 |
5 | 11 | 18 | 26 | 35 |
6 | 13 | 21 | 30 | 40 |
7 | 15 | 24 | 34 | 45 |
Algunos modelos:
I las dos sumas consecutivas da 2n + 1;
II las tres sumas consecutivas da 3n + 3 = 3(n + 1);
III las cuatro sumas consecutivas da 4n + 6 = 2(2n + 3);
IV las cinco sumas consecutivas da 5n + 10 = 5(n + 2).
36 no es la suma de dos números consecutivos puesto que es par.
36 es la suma de tres números consecutivos, es divisible por 3, (aquí n = 11.)
Si 36 fuese la suma de cuatro números consecutivos, entonces a partir de III nosotros vemos 2(2n + 3) = 36. Por lo tanto 2n + 3 = 18 o 2n = 15. Puesto que no hay un número entero que satisfaga esta condición, 36 no puede ser la suma de cuatro números consecutivos.
36 no es la suma de cinco números consecutivos, ya que todos estos son múltiplos de 5.
d. n | Suma de 6 números consecutivos | Suma de 7 números consecutivos |
1 | 21 | 28 |
2 | 27 | 35 |
3 | 33 | 42 |
4 | 39 | 49 |
5 |
Los modelos aquí son 6n + 15 y 7n + 21, respectivamente.
f. Los números que no se pueden escribir son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,... es decir todos los números de la forma 2n.
Extensión
Hay números que son las sumas de dos números consecutivos y la sumas de tres números consecutivos. Usted sólo tiene que encontrar un número impar mayor que 2 que sea divisible por 3. Por ejemplo 9 y 15 son sumas de dos números consecutivos y tres números consecutivos.
Justificaremos el hecho de que los números de la forma 4n + 6 son la suma de 4 números consecutivos. Todos los otros modelos pueden justificarse de una manera similar.
Suponga que N = 4n + 6 y n > 0. Entonces esto puede volver a escribirse como N = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3). Luego para todo N > 6 de la forma 4n + 6 se puede escribir como la suma de cuatro números consecutivos
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