José tiene una tabla. El puso los números pares del 2 al 12 a lo largo y los números 3, 6, 9, 12, 15, 18 hacia abajo. Sumo los números entre sí observando varios modelos
+ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
3 | 9 | 15 | ||||
6 | 10 | |||||
9 | 11 | 19 | ||||
12 | ||||||
15 | ||||||
18 |
Los modelos son un ingrediente esencial de la matemática. Es muy importante que los niños empiecen a buscarlos y crearlos. Este problema les da la oportunidad de buscar modelos en un ejercicio sencillo de adición. Anime a los niños a que busquen modelos numéricos en la tabla de José, en las direcciones horizontal, vertical y diagonal.
Logros
· Continua una repetición y un modelo secuencial
· Describe modelos numéricos
· Continua patrones
Recursos
· Papel cuadriculado
Sugerencias para la enseñanza
1. Presente el problema a la clase. Pregúnteles
¿Qué número piensas que va aquí?
¿Y qué de aquí?
Coloque estos números en la tabla.
2. Permita a los niños trabajar en el problema con un compañero. Verifique que entienden lo que hacen.
3. Clasifique en su totalidad las ideas y soluciones de los niños. Pídales que expliquen cómo trabaja su modelo.
4. Anímelos a que intenten la extensión del problema.
5. Discuta las respuestas que los niños dan en la clase. Pregúnteles porque sus respuestas son acertadas. Pídales que realicen preguntas.
Extensión
¿Cuál es el número menor que aparece más de una vez?
¿Cuál es el número mayor que aparece sólo una vez?
¿Cuántas veces aparece el 15?
¿Si la tabla se continúa hacia un lado y hacia abajo, cuántas veces aparecerá el 40? ¿En qué filas y columnas está?
Solución
La tabla de José completa
+ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 |
12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
15 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 | 27 |
18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 |
Hay un gran número de modelos que se pueden encontrar aquí. Los patrones horizontales son números consecutivos pares e impares. Esto ocurre porque José esta sumando parejas de números o relacionando los números con un número impar. Los modelos en las diagonales como los que están en rojo aumentan en cinco. Debido a que los números horizontales están aumentando de dos en dos y los verticales de tres en tres. Las diagonales que van hacia la izquierda (como la que está en azul) solo aumentan en uno. Ya que hay un aumento de tres hacia abajo, pero se disminuye en dos hacia la izquierda.
3–2= 1.
Anime a la clase a que busque especialmente modelos que estén en las diagonales.
Vale la pena notar que después del borde rojo aparece cada número por lo menos dos veces. Esto se puede ver a través de las columnas y observando las repeticiones entre ellas. Una observación rápida permite ver que dentro del cuadro rojo aparece cada número una sola vez. Así que el número más pequeño que aparece más de una vez debe ser el número más pequeño fuera del cuadro. Es el 11.
De esta forma el número más grande que aparece sólo una vez debe ser el número más grande dentro del cuadro rojo. Este es el 12.
El número 15 aparece solamente en dos columnas, así que aparece dos veces.
¿Cómo encontramos el 40? En primer lugar el 40 no puede estar a la derecha de “40” en la columna, ni puede aparecer debajo del “39” en la fila. ¿Qué números en la tabla de José determinan el 40? Iremos cuidadosamente a través de las columnas.
2 +? = 40 ? = 38 pero no es un múltiplo de 3;
4 +? = 40 ? = 36 y 36 es un múltiplo de 3 (un 40);
6 +? = 40 ? = 34 pero no es un múltiplo de 3;
8 +? = 40 ? = 32 pero no es un múltiplo de 3;
10 +?= 40 ? = 30 y 30 es un múltiplo de 3 (un 40);
12 +?= 40 ? = 28 pero no es un múltiplo de 3;
14 +?= 40 ? = 26 pero no es un múltiplo de 3;
16 +?= 40 ? = 24 y 24 es un múltiplo de 3 (un 40);
18 +?= 40 ? = 22 pero no es un múltiplo de 3;
20 +?= 40 ? = 20 pero no es un múltiplo de 3;
22 +?= 40 ? = 18 y 18 es un múltiplo de 3 (un 40);
24 +?= 40 ? = 16 pero no es un múltiplo de 3;
26 +?= 40 ? = 14 pero no es un múltiplo de 3;
28 +?= 40 ? = 12 y 12 es un múltiplo de 3 (un 40);
30 +?= 40 ? = 10 pero no es un múltiplo de 3;
32 +?= 40 ? = 8 pero no es un múltiplo de 3;
34 +?= 40 ? = 6 y 6 es un múltiplo de 3 (un 40);
36 +?= 40 ? = 4 pero no es un múltiplo de 3.
40 aparece seis veces en la tabla de José.
Esto se puede encontrar más rápidamente de dos maneras. Primero es más rápido usando 3 +? = 40, 6 +? = 40, etcétera.
Pero si observamos que 40 = 20 x 2 y que 2 x 3 = 3 x 2, podemos anotar las siguientes maneras de conseguir 40. Olvidando lo primero podemos conseguir el 40 de otras seis formas.
40 = 20 x 2;
40 = 17 x 2 + 2 x 3;
40 = 14 x 2 + 4 x 3;
40 = 11 x 2 + 6 x 3;
40 = 8 x 2 + 8 x 3;
40 = 5 x 2 + 10 x 3;
40 = 2 x 2 + 12 x 3.
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