ALGEBRA DE DIOFANTO

Las curiosidades y enigmas matemáticos han fascinado a las personas a través de los tiempos.  Éstos se expresaron a menudo en verso o como  enigmas.  Se supone que este ha venido de la tumba de un matemático griego antiguo que

vivió primero en Alejandría.

Cuando nos unimos en matrimonio mi esposa y yo, su edad era tres años más que la mía más tres veces tres; pero después de tres años y un medio de tres años, nuestras edades estaban entonces en la proporción como doce a trece. ¿cuál era su edad el día de la boda?

[Escrito en la tumba de Diofanto (100dc aproximadamente)]

¿De qué se trata el problema?

No se está realmente seguro de cuántos años tiene este problema.  En el miramos el problema que se grabó supuestamente en la lápida. 

No sabemos exactamente cuando realmente vivió Diofanto pero  era alrededor de los años 150 y 364 DC.  También se sabe que vivió en Alejandría que era el centro de la civilización griega antigua entre los años 350 AC y 640 AC.  A Diofanto lo llevo a la fama un sistema de trece volúmenes de libros llamados Aritmética.  Sólo seis de ellos han sobrevivido pero se dice que él estaba interesado en problemas que tenían soluciones en los números enteros.  Las ecuaciones de este tipo se llaman ecuaciones Diofanticas hoy en su honor.

Este problema puede resolverse por suposición y comprobación o siendo sistemático de alguna manera.  Sin embargo, la manera más eficáz de resolverlo está en el álgebra.  Vale la pena permitir que su clase trabaje en ellos debe impresionarles el poder del álgebra que los lleva a resolverlos muy eficazmente.

Logros

·        Forma y soluciona ecuaciones lineales, ecuaciones simultáneas y ecuaciones cuadráticas simples.

·        Soluciona un problema de diversas maneras.

·        Soluciona de manera creativa un problema o un problema de otra fuente de información.

Secuencia de la enseñanza

1.    Hable sobre hechos históricos.  

¿Qué persona famosa conoce que haya nacido hace 100 años? 

¿Hace 1000 años?

¿Hace 2000 años? 

2.    Recite poemas de Diofanto.  Asegúrese de que tienen idea de quién es. 

¿Cuál es la proporción doce es a trece?  

3.    Consiga que la clase trabaje en el problema en grupos de dos o cuatro. 

4.    Circule alrededor de la clase e inspeccione el progreso.  Si un grupo ha terminado usando un acercamiento algebraico, permítales probar el problema de la extensión.  

5.    De un tiempo de su hora a varios grupos para informar su respuesta y las maneras en que resolvieron el problema.  Si no hay tiempo para mirar el problema de la extensión pídales que lo resuelvan en casa

6.    En alguna fase de la clase, permita escribir dos maneras de resolver el problema en su cuaderno de matemática.

Extensión

Usted puede construir un problema con su propia edad o la de alguien más.  Dígalo a otro miembro de la clase para que lo resuelva.  Use el Internet para encontrar libros que contienen problemas matemáticos, enigmas o pasatiempos.

Solución

Como en otros problemas, damos tres posibles acercamientos a él. Todos Los estudiantes deben poder usar el método 1.  El método más sofisticado es el método 3 donde se usa álgebra.  Esperanzadamente la mayoría de su clase puede empezar por lo menos en el acercamiento algebraico. 

Método 1. Suponga y compruebe.

Pruebe una suposición inicial.  Si esta no sirve, entonces pruebe otra.  Use la primera suposición para hacer una segunda suposición mejor.

 

Suponga que él tenía 30 años, entonces su esposa tenía 33 años. Después de  3 + 3/2 = 4 + 1/2 años, él tenía 34 + 1/2 años, y su esposa tenía 37+1/2 años.

Ahora la proporción de su edad a la de la esposa es: 34+1/2 : 37+1/2  dividiendo por 34 + 1/2 tenemos :

1      : 1.086 multiplicando por 12 tenemos

12    : 13.043.  

Esto es cercano pero no lo suficiente. 

Así que pruebe su edad con 33.  Entonces la edad de su esposa era 36.  Después de 4+1/2 años, él tenía 37+1/2 , y ella tenía 40+1/2

La proporción es ahora

37+1/2 : 40 +1/2 dividiendo por 37+1/2 tenemos:

1    : 1.08 multiplicando por 12

12  :  12.96,

como 12.96 están en el otro lado de 13 (13.043), la próxima suposición debe estar entre 30 y 33. 

Así que pruebe 31+1/2 para la edad de Diofanto.  Su esposa tendría entonces 34+1/2 años.  Después de 4 +1/2 años, él tiene 36, y ella tiene 39 años. ¡La proporción entre sus edades es ahora 36:39 que es igual a 12:13. BINGO!

Método 2. Use el álgebra.

Tome la edad como e (mejor que x).  Entonces la edad de su esposa es    e + 3, para así obtener una ecuación:

 

(e +4+1/2)/[(e + 3) + 4+1/2] =12/13

Luego 13(e + 4+1/2) = 12[(e + 3) + 4+1/2]. 

Entonces tenemos 13e + 58+1/2 = 12e + 90

Así e = 31+1/2

Como lo encontramos por el método 1. 

Por lo tanto, cuando se casaron, Diofanto tenía 31  y su esposa 34  

Este método es mucho más eficáz que los otro dos.  Realmente es una técnica matemática poderosa de gran alcance.